수학공부

일차함수 아무거나 하나 그려 볼께요 y절편은 관심없고 x절편만 적어 놓았습니다. 설명의 편의를 위해서 y를 f(x)로 바꿔 쓸게요. 요렇게 f(x)=2x-4 그럼 역으로 생각하면 간단한 이야기를 장황하고 복잡하게 적어 보았습니다. ;; 암튼, 계속 나갑니다~ x에 a를 대입해 보면 f(a)=2a-4 이 점 (a, 2a-4)를... 다르게 표현하면 (a, f(a)) 그래프에 나타내 보면 x에 b를 대입해 보면 f(b)=2b-4 이 점 (b, 2b-4)를... 다르게 표현하면 (b, f(b)) 그래프에 나타내 보면 이번에는 기울기가 음수인 일차함수를 하나 그려 보겠습니다. 역시 x절편만 적어 놓았구요 설명의 편의를 위해서 y를 g(x)로 바꿔 쓰겠습니다. g(x)=-2x+4 그럼 역으로 생각하면 기울기가 양수일 때와 크다, 작다가 반대가 됩니다. x에 a를 대입해 보면 g(a)=-2a+4 이 점 (a, -2a+4)를... 다르게 표현하면 (a, g(a)) 그래프에 나타내 보면 x에 b를 대입해 보면 g(b)=-2b+4 이 점 (b, -2b+4)를... 다르게 표현하면 (b, g(b)) 그래프에 나타내 보면 결론입니다. 이번에는 일차함수 2개를 그려보겠습니다. 음... 확인할 게 많습니다. 하나하나 잘 따라오세요~ 이제 이차함수입니다. (이제부터는 y축은 생략하고 x축만 그립니다.) 이차함수 하나 더 이번에는 일차함수와 이차함수 눈 크게 뜨고 보세요~ 쫌(?) 헷갈립니다. 저도 머리 아포요 ㅠ ;; 마지막으로 이차함수 2개 마지막입니다. 잘 따라오세요~ 수학문제를 걍 식으로 기계적으로(?) 푸는 것과 그래프를 보고 읽으면서 푸는 것은 차원이 다릅니다..!! ^-^// 요기로 가면 → www.gajok.co.kr/math.html 다른 글들도 편리하게 볼 수 있습니다.

  좌변과 우변이 없는 그냥 단순한 식에서는 특정한 수를 곱하거나 나눠주면 안돼요~ 함수는 좌변과 우변이 있지만 지금은 좌변 y는 가만히 놔두고 우변만 바꾸는 거니까 우변에만 특정한 수를 곱하거나 나눠주면 안돼요~ 방정식의 양변에 같은 수를 곱하거나 나눠주는 것은 상관없습니다. 물론 아래와 같이 걍 풀어도 되지만... 굳이... 수학공부를 하다보면 가끔 한번씩 등장하는 식이 있습니다. a²+b²+c²-ab-bc-ca 인수분해 공식에도 등장하죠 a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca) 이 식을 한번 바꿔볼께요. 요렇게 a²+b²+c²-ab-bc-ca =2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca 이러면 안되는 거 알죠..?! 멀쩡한 식에 2를 곱해주면 안된다고 위에서 말씀드렸슴다..!! 2를 곱해줘야 한다면 이렇게 해야 합니다. 그래야 식에 변함이 없으니까요 계속해서 정리하면 아래와 같이 정리하면 안돼요~ a²+b²+c²-ab-bc-ca =2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca =(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(c²-2ca+a²) =(a-b)²+(b-c)²+(c-a)² 이번엔 그냥 단순식이 아니라 좌변과 우변이 있는 방정식입니다. a²+b²+c²-ab-bc-ca=0 이 때는 좌변과 우변에 2를 곱해줘서 이렇게 쓸 수 있죠 (우변은 2를 곱해줘도 0입니다.) 2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca=0 계속해서 정리하면 a²+b²+c²-ab-bc-ca=0 2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca=0 (a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(c²-2ca+a²)=0 (a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0 하나 더 할께요~ a²+b²+1-ab-b-a 아래 식에서 c에 1을 대입한 것 뿐인데 많이 달라 보이죠..?! a²+b²+c²-ab-bc-ca 순서까지 바꿔서 써놓으면 더 이상하게 보입니다. ㅠ a²+b²-ab-a-b+1 암튼 정리해 볼까요 이러면 안돼요~ a²+b²-ab-a-b+1 =2a²+2b²-2ab...

이차함수 y=ax²+bx+c 에서 x절편을 구하기 위해 y에 0을 대입하면 이차방정식이 됩니다. 0=ax²+bx+c 이 이차방정식의 근이 2개면 (D>0) 이차함수의 x절편이 2개란 소리고 이차함수가 x축과 두 점에서 만난다는 의미입니다. 이 이차방정식의 근이 1개면 (D=0) 이차함수의 x절편이 1개란 소리고 이차함수가 x축과 한 점에서 만난다는... 즉, 접한다는 의미입니다. 이 이차방정식의 근이 0개면 (D<0) 이차함수의 x절편이 없다는 소리고 이차함수가 x축과 만나지 않는다는 의미입니다. 어떠세요? 뭐 이상한 내용이 없나요? 사실 따지고 들어가면 위의 설명에는 거짓이 3개나 있습니다. 거짓1) 이차방정식의 근이 1개면 판별식 D=0 이라고 했는데 D=0 이라는 소리는 중근을 갖는다는 의미고 증근은 근이 1개가 아니고 2개입니다. 서로 같은 두 근..!! 중학생이라면 이것을 구분하지 않아도 되지만 고등학생은 반드시 구분해야 합니다. 그래서 수학문제에서 '이차방정식이 서로 다른 두 근을 갖는다'라고 하면 판별식이 0보다 커야 하고 (D>0) 서로 다르다는 말이 없이 그냥 '이차방정식이 두 근을 갖는다'라고만 하면 판별식이 0보다 크거나 같아야 합니다. (D≥0) 거짓2) 접할 때 x절편이 1개라고 했는데 우리는 이럴 때 x절편이 1과 3이라고 하지 이럴 때는 x절편이 2라고 하지 않고 접점의 x좌표가 2라고 표현합니다. 거짓3) 근이 0개면 판별식 D<0 이라고 했는데 이 때 여기서 말하는 근은 실근을 의미합니다. 정확히 표현하면 '실근이 0개면 D<0'입니다. D<0 이여도 근은 나옵니다. 허근 2개..!! 대부분의 교과서와 문제집은 실근과 허근을 명확하게 구분하지만 일부 교재에서는 실근과 허근을 구분해야 하는 특별한 문제를 제외하면 '근이 존재한다' '서로 다른 두 근을 가진다' 라고만 표현하고 '실근이 존재한다' '서로 다른 ...

A={a, b, c, d}의 부분집합 중에서 a를 포함하는 부분집합의 개수는 8개입니다. 그럼 직접 확인해 보겠습니다. a를 뺀 b, c, d로 이루어진 부분집합은 8개입니다. ø {b} {c} {d} {b, c} {b, d} {c, d} {b, c, d} 바로 이 8개가 a를 포함한 부분집합의 개수입니다. a가 없다구요..?! 그냥 여기에다가 각각 a를 넣어주기만 하면 돼요~ ø   →  {a} {b}  →  {a, b} {c}  →  {a, c} {d}  →  {a, d} {b, c}  →  {a, b, c} {b, d}  →  {a, b, d} {c, d}  →  {a, c, d} {b, c, d}  →  {a, b, c, d} 그래서 a를 빼고 만든 부분집합의 개수가 a를 포함한 부분집합의 개수가 되는 것입니다~ 요기로 가면 → www.gajok.co.kr/math.html 다른 글들도 편리하게 볼 수 있습니다.  

학생들이 헷갈려 하는 집합이 있습니다. A={ ø , a, b, {a, b}} 먼저, 이 집합의 원소는 4개입니다. ø ∈A a∈A b∈A {a, b}∈A 원소에 집합기호를 하면 부분집합이 됩니다. 원소가 1개인 경우 (4개) { ø }⊂A {a}⊂A {b}⊂A {{a, b}}⊂A 원소가 2개인 경우 (6개) { ø , a}⊂A { ø , b}⊂A { ø , {a, b}}⊂A {a, b}⊂A {a, {a, b}}⊂A {b, {a, b}}⊂A 원소가 3개인 경우 (4개) { ø , a, b}⊂A { ø , a, {a, b}}⊂A { ø , b, {a, b}}⊂A {a, b, {a, b}}⊂A 원소가 4개인 경우 (1개) { ø , a, b, {a, b}}⊂A 마지막으로 공집합 (1개) ø ⊂A 이렇게 총 16개입니다. 여기서 학생들이 헷갈려 하는 것이 ø ∈A ø ⊂A 위에 있는 공집합은 집합 A의 원소이고 아래에 있는 공집합은 공집합 기호입니다. {a, b}∈A {a, b}⊂A 위에 있는 {a, b}는 집합 A의 원소이고 아래에 있는 {a, b}는 집합 A의 원소 a와 b를 원소로 하는 부분집합입니다. --------------------------------------------------------------------------------- 집합 A={ ø , 2, {2}}에 대하여 집합 B={XlX⊂A} 이렇게 정의가 되면 집합 B의 원소가 보이나요..?! 집합 B를 말로 써보면 집합 A의 부분집합을 원소로 갖는 집합입니다. 집합 A의 부분집합은 8개가 있고 ø , { ø }, {2}, {{2}}, { ø , 2}, { ø , {2}}, {2, {2}}, { ø , 2, {2}} 따라서, 집합 B의 원소의 개수는 8개입니다. B={ ø , { ø }, {2}, {{2}}, { ø , 2}, { ø , {2}}, {2, {2}}, { ø , 2, {2}}} ø ∈B { ø }∈B {2}∈B {{2}}∈B { ø , 2}∈B { ø , {2}}∈B {2, ...

144의 약수의 개수와 총합은? 걍 구해보면 1 x 144 2 x 72 3 x 48 4 x 36 6 x 24 8 x 18 9 x 16 12 x 12 따라서 약수의 개수는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144  →  15개 약수의 총합은 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 8 + 9 + 12 + 16 + 18 + 24 + 36 + 48 + 72 + 144 = 403 그런데 문제는 초등학생이 이렇게 구하면 그러려니 하겠지만 중학생, 고등학생이 이렇게 구하면 많이 없어(?) 보인다는 것입니다. ㅎ 그럼 좀 있어(?) 보이게 풀어볼께요 먼저 144를 소인수분해 합니다. 2가 4개 있고, 3이 2개 있는데 약수의 개수는 지수에 1씩 더하고 서로 곱해서 구하면 되고 (4+1)(2+1)=15 약수의 총합은 요렇게 써서 구하면 됩니다. 사실 요렇게만 써놓으면 ( 1 + 2 + 4 + 8 + 16 )( 1 + 3 + 9 ) 약수, 약수의 개수, 약수의 총합이 모두 나옵니다. 약수는 전개하면 15개가 모두 나오고 ( 1 + 2 + 4 + 8 + 16 )( 1 + 3 + 9 ) = ( 1 + 2 + 4 + 8 + 16 ) + ( 3 + 6 + 12 + 24 + 48 ) + ( 9 + 18 + 36 + 72 + 144 ) 약수의 개수는 앞에 항이 5개, 뒤에 항이 3개가 있으니까 전개해서 나오는 항의 개수 5x3=15개가 약수의 개수가 됩니다. 사실, 약수의 개수 구하는 공식도 여기서 나온 것입니다. 약수의 총합은 걍 계산하면 되구요 ( 1 + 2 + 4 + 8 + 16 )( 1 + 3 + 9 ) = 31 x 13 = 403 문제1) 약수의 개수는 (3+1)(2+1)=12개 약수의 총합은 문제2) 세 개가 있어도 개념과 구하는 방식은 똑같습니다. 약수의 개수는 (4+1)(1+1)(2+1)=30개 약수의 총합은 문제3) 약수의 개수는 (4+1)(2+1)(1+1)=30개 이렇게 풀면 안돼요~ 6은 소수가 아니니까...