방정식의 근
이차함수
y=ax²+bx+c 에서
x절편을 구하기 위해
y에 0을 대입하면 이차방정식이 됩니다.
0=ax²+bx+c
이 이차방정식의 근이 2개면 (D>0)
이차함수의 x절편이 2개란 소리고
이차함수가 x축과 두 점에서 만난다는 의미입니다.
이 이차방정식의 근이 1개면 (D=0)
이차함수의 x절편이 1개란 소리고
이차함수가 x축과 한 점에서 만난다는... 즉, 접한다는 의미입니다.
이 이차방정식의 근이 0개면 (D<0)
이차함수의 x절편이 없다는 소리고
이차함수가 x축과 만나지 않는다는 의미입니다.
어떠세요?
뭐 이상한 내용이 없나요?
사실 따지고 들어가면
위의 설명에는 거짓이 3개나 있습니다.
거짓1)
이차방정식의 근이 1개면
판별식 D=0 이라고 했는데
D=0 이라는 소리는
중근을 갖는다는 의미고
증근은 근이 1개가 아니고 2개입니다.
서로 같은 두 근..!!
중학생이라면 이것을 구분하지 않아도 되지만
고등학생은 반드시 구분해야 합니다.
그래서 수학문제에서
'이차방정식이 서로 다른 두 근을 갖는다'라고 하면
판별식이 0보다 커야 하고 (D>0)
서로 다르다는 말이 없이 그냥
'이차방정식이 두 근을 갖는다'라고만 하면
판별식이 0보다 크거나 같아야 합니다. (D≥0)
거짓2)
접할 때
x절편이 1개라고 했는데
우리는 이럴 때
x절편이 1과 3이라고 하지
이럴 때는
x절편이 2라고 하지 않고
접점의 x좌표가 2라고 표현합니다.
거짓3)
근이 0개면
판별식 D<0 이라고 했는데
이 때
여기서 말하는 근은 실근을 의미합니다.
정확히 표현하면
'실근이 0개면 D<0'입니다.
D<0 이여도 근은 나옵니다.
허근 2개..!!
대부분의 교과서와 문제집은
실근과 허근을 명확하게 구분하지만
일부 교재에서는
실근과 허근을 구분해야 하는 특별한 문제를 제외하면
'근이 존재한다'
'서로 다른 두 근을 가진다' 라고만 표현하고
'실근이 존재한다'
'서로 다른 두 실근을 가진다' 라고 엄격하게 구분하지 않고 있습니다.
수학문제에서 실근, 허근 구분없이 그냥 근이라고만 하면
실근이라는 의미입니다.
여러분도 이미 위에서
무의식적으로(?) 실근이라고 가정하고 풀지 않았나요?
'이차방정식이 서로 다른 두 근을 가지면 D>0 이다.' 라고 했을 때
이상하다고 여기신 분~ 손..!! ;;
많은 학생들이 무의식적으로 실근이라고 가정하고
그냥 넘어갔을 듯요.. 암튼
정확하게 얘기하면
'이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가진다' 라고 할 때 D>0 입니다.
여기까지는 괜찮은데
약간 모순된 상황이 있습니다.
지금부터 제가 하는 말은
한번 쓰~윽 읽고 잊어버리세요~
x²-4x+5=0 의 근을 구하시오.
라는 문제의 답안지를 보면
x=2+i 또는 x=2-i 라고 나와 있습니다.
어..?!
근이라고 하면 실근이라는 얘긴데
허근인데도 답을 그냥 적었네..?!
허근이면 '답이 없다' 라고 적어야 하는 거 아닌가?
이런 의문점을 가져 보신 분이 계실랑가요?
아주(?) 오래 전
제가 공부할 때는
허근이 나오면
답안지에 '답이 없다' 라고 적든가
찜찜하면
'실근은 없고 서로 다른 두 허근 (x=2+i 또는 x=2-i) 을 갖는다.' 라고
정확하게 구분해서 적었던 기억이 납니다.
그런데 요즘 교과서나 문제집을 보면
이런 구분이 없다는 거...
실근이든 허근이든
나오는대로 답안지에 적는다는 거...
따라서, 여러분은
위에서 말했듯이 걍 잊어버리고
교과서나 문제집에 나와 있는 그대로 답안지에 적으세요~ ^-^//
요기로 가면 → www.gajok.co.kr/math.html
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