최대공약수 최소공배수

문제1)
360과 240의 최대공약수, 최소공배수, 공약수의 개수는?

풀이1)
360의 약수는
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360

240의 약수는
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20, 24, 30, 40, 48, 60, 80, 120, 240

따라서
360과 240의 → 공약수는 16개, 최대공약수는 120
1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120

최소공배수는 720
240, 480, 720, 960, ...
360, 720, 1080, ...

풀이2)







최대공약수는 2x2x2x3x5=120
최소공배수는 (2x2x2x3x5)x3x2=720

360과 240의 공약수는
360과 240의 최대공약수 120의 약수입니다.

따라서
360과 240의 공약수의 개수는
360과 240의 최대공약수 120의 약수의 개수입니다.
120=2³x3x5 → (3+1)(1+1)(1+1)=16개 ('약수의 개수와 총합' 참고요~)

풀이3)
360=2³x3²x5
240=2⁴x3x5

두 수에 공통으로 들어있는 수는
2가 3개 (2³)
3이 1개 (3)
5가 1개 (5)

따라서 최대공약수는 2³x3x5=120
공약수의 개수는 최대공약수 120의 약수의 개수이므로 (3+1)(1+1)(1+1)=16개

최소공배수는 많은 쪽(?)을 쓰면 됩니다.
2가 3개, 4개 있으니까 → 많은 쪽은 4개 (2⁴)
3이 2개, 1개 있으니까 → 많은 쪽은 2개 (3²)
5가 1개, 1개 있으니까 → 많은 쪽은 1개 (5)
따라서 최소공배수는 2⁴x3²x5=720



문제2)
A=2³x3²x7
B=2x3⁴x5

두 수에 공통으로 들어있는 수는
2가 1개 (2)
3이 2개 (3²)

따라서 최대공약수는 2x3²=18
공약수의 개수는 최대공약수 18의 약수의 개수이므로 (1+1)(2+1)=6개

최소공배수는
2가 3개, 1개 있으니까 → 많은 쪽은 3개 (2³)
3이 2개, 4개 있으니까 → 많은 쪽은 4개 (3⁴)
5가 0개, 1개 있으니까 → 많은 쪽은 1개 (5)
7이 1개, 0개 있으니까 → 많은 쪽은 1개 (7)
따라서 최소공배수는 2³x3⁴x5x7=22680



문제3)
A=2³x3²x6
B=2x3⁴x5

두 수에 공통으로 들어있는 수는
2가 1개 (2)
3이 2개 (3²)

따라서 최대공약수는 2x3²=18
공약수의 개수는 최대공약수 18의 약수의 개수이므로 (1+1)(2+1)=6개

최소공배수는
2가 3개, 1개 있으니까 → 많은 쪽은 3개 (2³)
3이 2개, 4개 있으니까 → 많은 쪽은 4개 (3⁴)
5가 0개, 1개 있으니까 → 많은 쪽은 1개 (5)
6이 1개, 0개 있으니까 → 많은 쪽은 1개 (6)
따라서 최소공배수는 2³x3⁴x5x6=19440

이렇게 풀면 안 돼요~

6은 소수가 아니니까
주어진 식은 소인수분해가 아닙니다.
제대로 소인수분해를 하고 나서 문제를 풀어야 합니다.

이제 구해보면

A=2³x3²x6 = 2³x3²x2x3 = 2⁴x3³
B=2x3⁴x5

두 수에 공통으로 들어있는 수는
2가 1개 (2)
3이 3개 (3³)

따라서 최대공약수는 2x3³=54
공약수의 개수는 최대공약수 54의 약수의 개수이므로 (1+1)(3+1)=8개

최소공배수는
2가 4개, 1개 있으니까 → 많은 쪽은 4개 (2⁴)
3이 3개, 4개 있으니까 → 많은 쪽은 4개 (3⁴)
5가 0개, 1개 있으니까 → 많은 쪽은 1개 (5)
따라서 최소공배수는 2⁴x3⁴x5=6480



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