삼각형 넓이 구하기 (1)

문제1)
세 점 A(3, 5), B(1, 2), C(4, 3)으로 이루어진
삼각형 ABC의 넓이를 구하시오

풀이1)
고등학생은 대부분 이렇게 풀죠


먼저
두 점 A와 B를 지나는 직선의 방정식을 구하고
3x-2y+1=0

점 C(4, 3)에서 이 직선에 이르는 거리를 구합니다.



이것이 이 삼각형의 높이입니다.

그리고, 밑변(선분 AB)의 길이는


따라서, 삼각형 ABC의 넓이는

물론








두 점 A와 C를 지나는 직선의 방정식을 구하고
2x+y-11=0

점 B(1, 2)에서 이 직선에 이르는 거리를 구하고



밑변(선분 AC)의 길이도 구해서


삼각형 ABC의 넓이를 구해도 됩니다.



두 점 B와 C를 지나는 직선의 방정식도 구해 보자구요..?
싫어됴~ 여러분이 해 보세요~



풀이2)
이번엔 초등학생 방식으로 풀어볼까요










사각형 넓이에서
삼각형 3개의 넓이를 빼주면 끝~




때론 초등학생 방식이 훨씬 더 쉬울 때가 있죠 ;;



풀이3)
공식을 알고 있는 분들이 얼마나 있으려나..?

세 점 A(a, b), B(c, d), C(0, 0)으로 이루어진
삼각형의 넓이는




이 공식은

주어진 세 점 중에서
한 점이 원점 (0, 0)일 때만 써먹을 수 있는 공식입니다.

그럼 한번 풀어볼까요

원점이 없다구요..?
그럼 옮기죠... 뭐... 요렇게









그림이 좀 엉성하지만
알아볼 수는 있을 듯요

점 B(1, 2)를 원점 (0, 0)으로 옮기면

점 A(3, 5)는 점 (2, 3)으로
점 C(4, 3)은 점 (3, 1)로 옮겨집니다.

이렇게 옮겨도
삼각형의 넓이는 변함이 없잖아요

이제 위의 공식에 넣어보면




점 A를 원점으로 옮기자구요..?
뭐... 한번 해보죠









점 A(3, 5)를 원점 (0, 0)으로 옮기면

점 B(1, 2)는 점 (-2, -3)으로
점 C(4, 3)은 점 (1, -2)로 옮겨집니다.

역시 공식에 넣어보면




결과는 같습니다.

참고로

세 점 A(a, b), B(c, d), C(e, f)로 이루어진
삼각형의 넓이를 구하는 공식도 있는데 살짝(?) 복잡합니다.

궁금하면 검색해 보세요~

암튼, 이렇게

세 가지 방법으로 삼각형의 넓이를 구해봤는데
여러분은 어떤 풀이가 젤 맘에 드나요..? ;;

각자의 취향에 맞는 방법으로 푸세요~



문제2)
세 점 A(3, 5), B(1, 2), C(4, 2)로 이루어진
삼각형 ABC의 넓이를 구하시오

어떤 방법으로 풀까
고민하고 있는 건 아니죠..?!








이 경우는
삼각형의 세 변 중 한 변이 x축에 평행합니다.

걍 밑변과 높이를 구해서 넓이를 구하면 됩니다.




A(3, 5), B(1, 2), C(4, 3)에서
A(3, 5), B(1, 2), C(4, 2)로

달랑 점 C의 y좌표만 3에서 2로 바꿨을 뿐인데
상황이 이렇게 달라지네요

수학이 원래 그렇죠... 뭐...
그래수 수학쌤들이 항상 하는 말들이 있죠

문제 푸는 것도 중요하지만
문제 잘 읽고 상황파악 먼저 잘 하라고..!!



점 C의 x좌표만 바꿔볼까요

A(3, 5), B(1, 2), C(4, 3)에서
A(3, 5), B(1, 2), C(3, 3)으로








이번에는 한 변이 y축과 평행하네요

마찬가지로
밑변과 높이를 구해서 넓이를 구하면 됩니다.




여기까지요오~~ ^-^//



요기로 가면 → www.gajok.co.kr/math.html
다른 글들도 편리하게 볼 수 있습니다.



댓글

댓글 쓰기

이 블로그의 인기 게시물

도형 읽고 그리기

이미지
도형 읽고 그리기는 기본적인 약속입니다. 너무 당연한 약속이라 그런지 이런 걸 설명해 놓은 책은 본 적이 없는 것 같네요. 기본적인 내용 몇 가지만 이야기해 보겠슴다~ 먼저, 도형에서 꼭지점은 대문자, 변의 길이는 소문자 꼭지점 A, 꼭지점 B, 꼭지점 C, 꼭지점 D 선분 AB의 길이는 r, 선분 BC의 길이는 s, 선분 CD의 길이는 p, 선분 AD의 길이는 q 그리고 선분을 읽을 때는 가능하면 알파벳 순서로 선분 BA보다는 선분 AB 선분 CB보다는 선분 BC 선분 DC보다는 선분 CD 선분 DA보다는 선분 AD 물론 선분 BA, 선분 CB, 선분 DC, 선분 DA라고 읽는다고 해서 딱해 틀렸다고는 하지 않지만 선분 AB, 선분 BC, 선분 CD, 선분 AD가 읽기도 편하고 이쁘답니다. (?) 당연히 거의 모든 수학책에서도 이렇게 적어 놓았구요 다음으로, 도형을 읽을 때는 반드시 반시계 방향으로 읽어야 합니다. 사각형 ABCD라고  읽어야지 사각형 ADCB라고 시계방향으로 읽거나 사각형 ACBD라고 지그재그로 마구 읽으면 틀립니다..!! 시작점은 내맘대로 정할 수 있습니다. 사각형 ABCD, 사각혀 BCDA, 사각형 CDAB, 사각형 DABC 그래도 가능하면 알파벳 순서로 꼭지점 A, B, C, D 중에 A를 시작점으로 사각형 ABCD로 읽는 걸로... 역시 거의 모든 수학책에서도 이렇게 적어 놓았습니다. 꼭지점이 A, B, C, D면 아주 자연스럽게 사각형 ABCD라고 읽겠지만 다른 문자면 신경을 좀 써서 읽어야 합니다. 예를 들어 사각형 EFGH, 사각형 FGHE, 사각형 GHEF, 사각형 HEFG 모두 허용되지만 가능하면 E를 젤 앞에 써서 사각형 EFGH로 읽는 걸로... 위에서 말했던 것처럼 사각형 EHGF라고 시계방향으로 읽거나 사각혀 EGHF라고 지그재그로 마구 읽으면 틀립니다~ 도형을 그릴 때도 마찬가지입니다. 사각형 ABCD라고 했으면 반드시 반시계방향으로 A, B, C, D로 적어야 합니다. 시계방향으로 적거나 지그재그로 마구 적으면 안
자세한 내용 보기

절댓값 그래프 (1)

이미지
절댓값을 포함한 식의 그래프는 네가지로 구분합니다. ① 식 전체에 절댓값이 씌워진 경우 ② x에만 절댓값이 씌워진 경우 ③ y에만 절댓값이 씌워진 경우 ④ x, y 모두에 절댓값이 씌워진 경우 이제 차례대로 하나씩 그려보겠습니다. ① 식 전체에 절댓값이 씌워진 경우 ⅰ) x≥2  →  y=x-2 그래프를 그리고, x≥2 부분만 놔둡니다. ⅱ) x<2  →  y=-x+2 그래프를 그리고, x<2 부분만 놔둡니다. 이제 위의 두 그래프를 합치면 우리가 그리고자 하는 그래프가 나옵니다. 이런 방식으로 그리는 것이 정석(?)이지만 대부분은 다른 방식으로 그리죠 이 함수의 그래프를 그리려면 일단 절댓값을 없애고 그린 다음 y값이 음수인 부분은 위로 올려줍니다. (x축에 대하여 대칭이동) 그리고, y값이 음수인 부분을 지워주면 우리가 그리고자 하는 그래프가 나옵니다. 이차함수로 하나 더 해볼까요 ⅰ) x<1 또는 x>3  →  y=x²-4x+3 그래프를 그리고, x<1 또는 x>3 부분만 놔둡니다. ⅱ) 1≤x≤3  →  y=-x²+4x-3 그래프를 그리고, 1≤x≤3 부분만 놔둡니다. 이제 위의 두 그래프를 합치면 우리가 그리고자 하는 그래프가 나옵니다. 이차식 전체에 절댓값이 씌워진 경우 이렇게 구간을 나눠서 그래프를 그리는 것은 본 적이 없는 것 같네요 ;; 암튼 남들이 하는대로 다른 방식으로 그려보죠 이 함수의 그래프를 그리려면 일단 절댓값을 없애고 그린 다음 y값이 음수인 부분은 위로 올려줍니다. (x축에 대하여 대칭이동) 그리고, y값이 음수인 부분을 지워주면 우리가 그리고자 하는 그래프가 나옵니다. ② x에만 절댓값이 씌워진 경우 ⅰ) x≥0  →  y=x-2 그래프를 그리고, x≥0 부분만 놔둡니다. ⅱ) x<0  →  y=-x-2 그래프를 그리고, x<0 부분만 놔둡니다. 이제 위의 두 그래프를 합치면 우리가 그리고자 하는 그래프가 나옵니다. 이런 방식으로 그리는 것이 정석(?)이지만 대부분은 다른 방식으로 그리
자세한 내용 보기

삼각형의 밑변과 높이

이미지
△ABC에서 밑변과 높이가 딱히 정해져 있는 것은 아닙니다. 선분 BC를 밑변으로 보면 높이는 선분 AC를 밑변으로 보면 높이는 선분 AB를 밑변으로 보면 높이는 몇 개 연습해 보면 밑변은 선분 BC 밑변은 선분 AC 밑변은 선분 AB 밑변은 선분 BC 밑변은 선분 AB 밑변은 선분 AC 아래 삼각형 3개는 밑변과 높이가 모두 같고, 따라서 넓이도 같습니다. 문제1) 아래 삼각형에서 h의 값은? 일단, 선분 BC의 길이는 5 선분 AB를 밑변, 선분 AC를 높이로 생각하면 선분 BC를 밑변, h를 높이로 생각하면 문제2) 아래 삼각형에서 h의 값은? 문제1과 다른 점이 보이나요..? 지금은 △ABC가 직각삼각형이 아닙니다. 즉, 선분 AB가 밑변일 때, 선분 AC는 높이가 아닙니다..!! 따라서, 이 문제는 다른 조건이 더 주어져야 풀 수가 있습니다. 직각삼각형처럼 생겼다고 직각삼각형이라고 가정하고 문제를 풀면 안됩니다. 수학문제 풀다보면 그러려니 하고 푸는 경우가 많죠..?! 그러면 안돼요~ ;; 중3 때 나오나요..? 이런 공식이 있죠 이 공식들도 △ABC가 직각삼각형인 걸 확인하고 써먹어야 합니다. 직각삼각형도 아닌데 막 갖다쓰면 아니되옵니다~ 그리고, 문제1은 이 공식들 중 네 번째 공식을 써먹은 것입니다~ ^-^// 요기로 가면 → www.gajok.co.kr/math.html 다른 글들도 편리하게 볼 수 있습니다.
자세한 내용 보기